ΜΟΥΣΙΚΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Μουσική και Μαθηματικά

Διαθεματικότητα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ

Το Μονόχορδο του Πυθαγόρα

Η Μουσική μελετήθηκε πολλές φορές σε συνάρτηση με άλλες σημαντικές επιστήμες όπως τα Μαθηματικά. Η αρχαία Ελληνική Φιλοσοφία εξετάζει τις συνολικές τάσεις στα διάφορα επιστημονικά πεδία όπως και στη θεωρία της Μουσικής. Η Μουσική αποτελούσε έναν επιστημονικό κλάδο της αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας και συνδέονταν άμεσα με τα Μαθηματικά. Οι αρχαίοι Έλληνες φαίνεται ότι είχαν πλήρως συλλάβει την έννοια της διαθεματικότητας στην διδασκαλία, αφού το μάθημα της Μουσικής ήταν κύριο μάθημα στο εκπαιδευτικό σύστημα ακριβώς λόγω του ότι, πέρα από την ηθική και παιδαγωγική διάσταση, το μάθημα της μουσικής είχε έναν ευρύτερο διεπιστημονικό χαρακτήρα που το συνέδεε άμεσα με τα Γράμματα (Όμηρος, Ραψωδία, Τραγωδία, κ.α.) και με τις θετικές επιστήμες, όπως με τα Μαθηματικά (Ρυθμός, Μέτρο, κ.α.). Μέσα από το ‘Μονόχορδο’ ο Πυθαγόρας  μελέτησε και απέδειξε τη σχέση της μουσικής με τα μαθηματικά και καθόρισε τις αριθμητικές αναλογίες των μουσικών διαστημάτων, ερευνώντας τους νόμους των παλλόμενων χορδών. Επίσης ο ρυθμός και τα μουσικά μέτρα έχουν άμεση σχέση με τους αριθμούς, την διαίρεση και τον πολλαπλασιασμό, όπως και με την περιοδικότητα, το μοτίβο κ.α. Τα μαθηματικά αυτά στοιχεία είναι εντελώς απαραίτητα για την ύπαρξη μιας οποιασδήποτε απλής ή σύνθετης μουσικής σύνθεσης και αποτελούν τα εν γένει βασικά χαρακτηριστικά της φύσης της Μουσικής. 

Ο Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός  και θεωρητικός της μουσικής Πυθαγόρας ο Σάμιος (6ος αιώνας π.Χ., περίπου 570-495 π.Χ.), πρώτος διατύπωσε επιστημονικά θεμελιωμένη θεωρία της μουσικής, θέτοντας τις βάσεις για τη μετέπειτα μουσική εξέλιξη Ανατολής και Δύσης.  Οι Πυθαγόρειοι είχαν αναπτύξει μια θεωρία ότι ο κόσμος είναι αρμονία και αριθμοί. Με την θεωρία αυτή ο Πυθαγόρας (β΄ μισό του 6ου αι.) ερμήνευε τη σχέση μουσικής-ψυχής, όπου και στις δύο καθορίζουν την αρμονία οι αριθμοί και οι αναλογίες τους. Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που έκανε μαθηματικούς υπολογισμούς πάνω στους μουσικούς τόνους και θεμελίωσε με μαθηματικές αναλογίες τις σχέσεις των τονικών διαστημάτων. Ενάμιση αιώνα αργότερα βρίσκουμε μια πλήρως εξελιγμένη μαθηματικά προσδιορισμένη Πυθαγόρεια Αρμονία. Η ψυχή επηρεάζεται σύμφωνα με το πώς θα χρησιμοποιηθούν οι ανάλογοι ‘τρόποι’= αρμονίες  της μουσικής. Υποστήριξε ότι η μουσική είναι επιστήμη συμπαντική και ακολουθεί τους νόμους του σύμπαντος. Μελέτησε και απέδειξε τη σχέση της μουσικής με τα μαθηματικά και καθόρισε τις αριθμητικές αναλογίες των μουσικών διαστημάτων, ερευνώντας τους νόμους των παλλόμενων χορδών.

Επινόησε το «μονόχορδο» και το χρησιμοποίησε για την πειραματική μελέτη των χορδών, με σκοπό να καθορίσει το ακριβές μήκος των χορδών της λύρας. Το «μονόχορδο του Πυθαγόρα» ήταν ένα πειραματικό όργανο, με μια χορδή τεντωμένη πάνω σε ξύλινη βάση και ένα κινητό χορδοστάτη (καβαλάρη) που διαιρούσε τη χορδή, επιτρέποντας μόνο στο ένα τμήμα της να πάλλεται.

Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών, αυτό δηλαδή που ονομάζεται σήμερα στην αριθμητική και στη γεωμετρία λόγος, στη μαθηματική θεωρία της Μουσικής του Πυθαγόρα ονομάζεται «Διάστημα».

Στη θεωρία της Μουσικής μάλιστα η λέξη διάστημα είχε διπλή σημασία. Διότι αφενός μεν ονομαζόταν διάστημα η αριθμητική σχέση με την οποία εκφραζόταν ο λόγος του μουσικού διαστήματος, αφετέρου δε αυτή η λέξη ήταν σύμφωνη με την καθημερινή έννοιά της και το «τμήμα ευθείας», δηλαδή την απόσταση μεταξύ δύο σημείων.

Το μουσικό διάστημα, που εκφραζόταν ως «σχέση δύο αριθμών προς αλλήλους» στη θεωρία της Μουσικής του Πυθαγόρα ονομαζόταν αρχικά διάστημα = απόσταση δυο σημείων απ’ αλλήλων. Το «διάστημα» αυτό είχε πράγματι δύο συνοριακά σημεία (πέρατα, όρους), τα οποία δινόντουσαν ως αριθμοί.

Πιο συγκεκριμένα ο Πυθαγόρας ήταν αυτός που πρώτος έθεσε τις βάσεις της επιστήμης της Μουσικής με μια επιστημονικά θεμελιωμένη θεωρία της Μουσικής. Ανακάλυψε τη σχέση ανάμεσα στο μήκος των χορδών και το τονικό ύψος που δίνουν.

Για να το πετύχει αυτό χρησιμοποίησε ένα έγχορδο όργανο, που το δημιούργησε ο ίδιος, το «Μονόχορδο».

Με άλλα λόγια οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν μια σχέση απόλυτα σταθερή ανάμεσα στο μήκος των χορδών της λύρας και των βασικών συγχορδιών (1/2 για την όγδοη, 3/2 για την πέμπτη και 4/3 για την τέταρτη). H θαυμαστή ιδιότητα αυτών των αρμονικών σχέσεων έγκειτο στο ότι περιλάμβαναν τους τέσσερις πρώτους φυσικούς αριθμούς (1, 2, 3, 4), το άθροισμα των οποίων ισούται με το 10  (Τετρακτύς).

Ασχολήθηκε με τη μελέτη της αρμονικής συνήχησης δύο φθόγγων και της αιτίας της. Ανακάλυψε ότι το διάστημα  5ης καθαρής και το διάστημα ογδόης, που αντιστοιχούν σε λόγο συχνοτήτων 3/2  και 2/1 αντίστοιχα, είναι σύμφωνα (ακούγονται ευχάριστα). Συμπέρανε έτσι ότι η κλίμακα πρέπει να σχηματιστεί με τη χρήση αυτών των λόγων (σχέσεων).

Εξέφρασε τα μουσικά διαστήματα με τον λόγο δύο ακέραιων αριθμών:

2/1 (λόγος «διπλός» ) για την «διαπασών (των χορδών) συμφωνία» (οκτάβα).

4/3 (λόγος «επίτριτος» για την «διατεσσάρων»  ( 4η καθαρή).

Λόγος «ημιόλιος» 3/2 για την «διαπέντε» (5η καθαρή).

Επίσης επινόησε τον τόνο, που τον προσδιόρισε σαν το διάστημα μεταξύ του διατεσσάρων (μεγάλη 4η)  και του διαπέντε (μεγάλη 5η) =3/2 : 4/3= 3/2 Χ 3/4= 9/8.

Η μεγάλη τρίτη υπολογίστηκε σαν  9/8 Χ 9/8=81/64. Το «λείμμα» (ημιτόνιο) =μεγάλη 4η - μεγάλη 3η= 256/243.

 Η τετρακτύς (1+2+3+4=10) περικλείει όλες τις συνηχήσεις, διότι περιέχει εκείνες του διατεσσάρων, του διαπέντε, του διαπασών, του διαπασών διαπέντε και του δις διαπασών, δηλαδή τους αριθμούς που προκύπτουν απο τους λόγους επίτριτο, ημιόλιο, διπλό, τριπλό και τετραπλό.